一 引言

目前，中国的外汇储备资产主要以发达国家政府和政府机构债券的形式存在，在该资产面临的各类风险中，汇率风险是最主要的风险形式之一。由于人民币处于升值进程中，如果外汇储备增长的趋势得以保持，并且短期内不再出现明显变化，那么，外汇占款必然被带动增加。在我国央行的资产负债表上，资产方主要表现为外汇储备的增长，负债方主要表现为人民币央行票据的增长，这种日益扩大的货币错配势必会加大央行本身的汇率风险。

为此，本文引用国际上通用的金融市场风险度量方法VaR度量我国外汇储备的汇率风险。VaR给出了一定置信水平下特定持有期内投资组合所面临的最大损失，有效地描述了投资组合的整体市场风险状况。然而，在实际金融市场决策时，仅仅掌握组合整体风险是不够的，还必须了解构成组合的每一项资产及其相应调整、变化对组合整体风险的影响，即：(1)组合中某一项资产对组合VaR的边际贡献；(2)组合中某一项资产在组合VaR中所占的比例；(3)一项新资产的加入对现有组合VaR的影响。这些风险信息对风险管理十分重要，有助于识别全部风险暴露中的主要来源，将对改进整体风险状况、评估投资机会、分析资产调整对组合风险的影响以及设置头寸限额提供帮助。VaR概念并不能提供这些有用的信息，这就需要对投资组合VaR进行分解，也就是需要计算边际VaR(简称M-VaR)、成分VaR(简称C-VaR)和增量VaR(简称I-VaR)。

目前，国内外对投资组合VaR及其计算方法的研究文献较多，对投资组合VaR分解的研究却相对较少。虽然近期有些学者进行了一些尝试，但大多数研究有相当强的约束条件，即假定投资组合回报分布服从正态分布或双变量椭圆分布族(一种对称分布族)。如：Garman(1996, 1997)、Mausser等(1998、1999)、王春峰(2001)和Rosen(2001)研究了组合回报服从正态分布时VaR的分解；Drik和Luisa(2003)、胡海鹏等(2003)研究了组合回报服从双变量椭圆分布时VaR的分解。然而，组合实际回报中往往同时存在着不对称现象和厚尾现象。为了更准确地描述这一事实，人们通常采用同时具有不对称和厚尾特性的分布或模型(如g-h分布、Hyperbolic分布族、非对称GARCH模型等)或其他非参数方法(历史模拟法、蒙特卡洛模拟法、极值理论等)来计算投资组合VaR。此时，如何分解使用这些方法计算出的投资组合VaR就成了一个亟待解决的问题。为此，潘志斌(2005, 2008)先后运用全局线性近似法、非对称响应模型法、局部线性近似法和调整条件均值法分别对投资组合的汇率风险进行了分解。

本文其他部分的主要内容安排如下：首先简要介绍边际VaR、成分VaR和增量VaR的概念和相互关系；其次阐释利用调整条件均值法分解投资组合VaR的一般过程；然后运用VaR方法度量我国外汇储备整体的汇率风险，应用局部线性近似法对其进行分解；最后得出结论。

二 边际VaR、成分VaR和增量VaR (一) 边际VaR、成分VaR和增量VaR的概念

组合中某一资产i的边际VaR(M-VaR_i)，是指资产i的头寸变化而导致的组合VaR的变化，可由下式表示：

$ {\rm{M - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}{\rm{ = }}\frac{{\partial {\rm{Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}}}{{\partial {{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}}} $

(1)

其中，ω_i表示组合中资产i的权重，i=1, 2，…, n。

组合VaR通常有两种基本类型：一种是考虑资产分散化的组合VaR，另一种是不考虑资产分散化的组合VaR。由于资产的分散化效应，组合中所有组成部分(简称成分)的未分散化的VaR之和通常不等于组合的分散化VaR。成分未分散化的VaR显然不能反映投资组合VaR中每一成分的贡献。

假设组合包括k种成分，如果式(2)成立，称C-VaR_i为组合中成分i的成分VaR：

$ {\rm{VaR = }}\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{k}} {{\rm{C - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}} $

(2)

可见, 投资组合VaR可表示为组合的各资产成分VaR之和。成分VaR反映了组合中各资产对组合VaR的贡献大小。当C-VaR_i＞0时, 说明该资产对组合VaR有增加的作用；而当C-VaR_i＜0时，则表明该资产减少了组合VaR，起到“风险对冲”的作用。

某项资产的增量VaR(I-VaR)，是指当组合中增加该资产时组合VaR的变化。令组合中增加资产i后组合VaR为VaR_p^′，则该资产的增量VaR可由下式表示：

$ {\rm{I - VaR = \Delta Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}{\rm{ = VaR}}{{\rm{'}}_{\rm{P}}}{\rm{ - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}} $

(3)

当增量VaR为正时，表明资产i增加了组合的风险；当增量VaR为零时，表明资产i不影响组合的风险；当增量VaR为负时，表明资产i对冲了组合的风险。

(二) 边际VaR、成分VaR和增量VaR的相互关系

组合M-VaR与C-VaR的关系为：

$ {\rm{Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}{\rm{ = }}\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{k}} {{\rm{C - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}{\rm{ = }}} \sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{k}} {{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}\frac{{\partial {\rm{Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}}}{{\partial {\rm{ \mathsf{ ω} }}}}{\rm{ = }}} \sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{k}} {{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}{\rm{M - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}} $

(4)

因投资组合VaR是资产权重{ω_i}_i∈P的齐次线性函数，由此可通过Euler定理来证明式(4)成立，证明过程可见参考Hallerbach, Winfried G., (2003)。

另设ω′_n+1、M-VaR′_n+1和VaR′_P分别表示要加入的新资产K在重新平衡后的组合中各资产的权重、边际VaR和组合VaR，ω′_i和M-VaR′_i分别表示原组合各资产在加入的新资产K重新平衡后的组合中的权重和边际VaR，其他符号如上。则有：

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;{\rm{ \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{\rm{i}}}{\rm{ = (1 - \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{)}}{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}\\ \;\;\;\;{\rm{VaR}}{{\rm{'}}_{\rm{P}}}{\rm{ = }}\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{{\rm{n + 1}}} {{\rm{ \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{\rm{i}}}{\rm{M - VaR}}{{\rm{'}}_{\rm{i}}}{\rm{ = (1 - \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{)}}\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}{\rm{M - }}} } \\ {\rm{VaR}}{{\rm{'}}_{\rm{i}}}{\rm{ + \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{M - VaR}}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}} \end{array} $

(5)

由于新增资产K对原组合各资产的边际VaR的影响甚微，取一阶近似可得：

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;{\rm{VaR}}{{\rm{'}}_{\rm{P}}} \approx {\rm{(1 - \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{)}}\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}{\rm{M - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}{\rm{ + \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}} \\ {\rm{M - VaR}}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}\\ \;\;\;\; \approx {\rm{Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}{\rm{ + \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{(M - VaR}}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}{\rm{)}} \end{array} $

(6)

因此由式(3)得：

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;{\rm{I - VaR}}\left({\rm{K}} \right){\rm{ = VaR}}{{\rm{'}}_{\rm{P}}}{\rm{ - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}} \approx {\rm{ \mathsf{ ω} }}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{(M - }}\\ {\rm{VaR}}{{\rm{'}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}{\rm{)}} \end{array} $

(7)

三 投资组合VaR的分解 (一) 投资组合VaR分解的一般过程

由边际VaR、成分VaR和增量VaR的相互关系可知，一旦求出边际VaR，就可以由它估算出成分VaR和增量VaR。因此，我们下面来讨论边际VaR的一般求解过程。假设投资组合回报分布具有有限的一阶矩。令随机变量r_p表示投资组合P的回报，组合取VaR值时的回报为r_p^*, 由VaR的定义可知VaR=-r_p^*，其他符号如上。则可得：

$ \begin{array}{l} {{\rm{r}}_{\rm{p}}}{\rm{ = E}}\left\{ {{{\rm{r}}_{\rm{i}}}{\rm{|}}{{\rm{r}}_{\rm{p}}}} \right\}{\rm{ = }}\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}{\rm{E}}} \left\{ {{{\rm{r}}_{\rm{i}}}|{{\rm{r}}_{\rm{p}}}} \right\}\\ {\rm{r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}{\rm{ = }}\sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}{\rm{E}}} \left\{ {{{\rm{r}}_{\rm{i}}}{\rm{|}}{{\rm{r}}_{\rm{p}}}{\rm{ = r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}} \right\}{\rm{ \backslash }}\\ \therefore {\rm{M - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}{\rm{ = }}\frac{{\partial {\rm{Va}}{{\rm{R}}_{\rm{P}}}}}{{\partial {{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\partial \left({{\rm{ - r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}} \right)}}{{\partial {{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}}}\\ {\rm{ = - E}}\left\{ {{{\rm{r}}_{\rm{i}}}{\rm{|}}{{\rm{r}}_{\rm{p}}}{\rm{ = r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}} \right\} \end{array} $

(8a)

由式(4)可得：

$ {\rm{C - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}{\rm{ = }}{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}{\rm{M - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}{\rm{ = - }}{{\rm{ \mathsf{ ω} }}_{\rm{i}}}{\rm{E}}\left\{ {{{\rm{r}}_{\rm{i}}}{\rm{|}}{{\rm{r}}_{\rm{p}}}{\rm{ = r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}} \right\} $

(8b)

因此, 估计边际VaR可按以下步骤进行。首先，建立投资组合回报r_p和组合中各资产i的回报r_i的关系，以获得E{r_i|r_p}；然后令投资组合回报r_p等于组合取VaR值时的回报r_p^*，即r_p=r_p^*，这样就计算出了E{r_i|r_p=r_p^*}。

为此，将组合中各资产i的回报r_i正交投影到投资组合回报r_p的子空间，得：

$ {{\rm{r}}_{\rm{i}}}{\rm{ = }}{{\rm{ \mathsf{ α} }}_{\rm{i}}}{\rm{ + }}{{\rm{ \mathsf{ β} }}_{{\rm{ip}}}}{{\rm{r}}_{\rm{p}}}{\rm{ + }}{{\rm{ \mathsf{ ε} }}_{\rm{i}}} $

(9)

式(9)为投资组合回报r_p和组合中各资产i的回报r_i的最小二乘估计回归(OLS回归)，满足E{ε_i}=0和正交条件E{εr_p}=0。由于满足正交条件E{εr_p}=0，那么式中的β_ip为OLS回归的斜率，而α_i=μ_i-β_ipμ_p为OLS回归的截距，其中μ_i, μ_p分别为组合中资产i和组合的期望回报。这样，式(9)可化为：

$ {\rm{E}}\left\{ {{{\rm{r}}_{\rm{i}}}|{{\rm{r}}_{\rm{p}}}} \right\}{\rm{ = }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{i}}}{\rm{ + }}{{\rm{ \mathsf{ β} }}_{{\rm{ip}}}}\left[ {{{\rm{r}}_{\rm{p}}}{\rm{ - }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{p}}}} \right]{\rm{ + E}}\left\{ {{{\rm{ \mathsf{ ε} }}_{\rm{i}}}{\rm{|}}{{\rm{r}}_{\rm{p}}}} \right\} $

(10)

其中，当投资组合回报r_p和组合中各资产i的回报r_i的关系为线性时，E{r_i|r_p}与r_p的关系也是线性的，这也就意味着E{ε_i|r_p}=0。此时，令r_p=r_p^*，式(10)可化为：

$ {\rm{E\{ }}{{\rm{r}}_{\rm{i}}}\left| {{{\rm{r}}_{\rm{p}}}} \right.{\rm{ = r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}{\rm{\} = }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{i}}}{\rm{ + }}{{\rm{ \mathsf{ β} }}_{{\rm{ip}}}}\left[ {{\rm{r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}{\rm{ - }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{p}}}} \right] $

(11)

由式(8a)可得：

$ \begin{array}{l} {\rm{M - Va}}{{\rm{R}}_{\rm{i}}}{\rm{ = - E}}\left\{ {{{\rm{r}}_{\rm{i}}}{\rm{|}}{{\rm{r}}_{\rm{p}}}{\rm{ = r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}} \right\}\\ {\rm{ = - }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{i}}}{\rm{ - }}{{\rm{ \mathsf{ β} }}_{{\rm{ip}}}}\left[ {{\rm{r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}{\rm{ - }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{p}}}} \right]\\ {\rm{ = - }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{i}}}{\rm{ + }}{{\rm{ \mathsf{ β} }}_{{\rm{ip}}}}\left[ {{\rm{Va}}{{\rm{R}}_{\rm{p}}}{\rm{ + }}{{\rm{ \mathsf{ μ} }}_{\rm{p}}}} \right] \end{array} $

(12)

这样，由式(7)和(8b)可计算出增量VaR和成分VaR。

(二) 局部线性近似估计法

当投资组合中各资产i的回报r_i和组合回报r_p服从正态分布或双变量椭圆分布时，E{r_i|r_p}与r_p的关系也是线性的，满足E{ε_i|r_p}=0。由于投资组合回报中除了具有厚尾现象，还具有不对称现象，以及组合回报r_p和组合中各资产回报r_i的非线性关系，使得E{ε_i|r_p}≠0。为此，本文提出了局部线形近似估计法，解决了这一问题。它可分别用于分解不同方法(参数法、非参数法和半参数法)计算出的投资组合VaR。下面进行介绍。

r_p^*为在置信水平CL下组合取VaR时对应的组合回报。首先，从原始样本中选择一个子样本T(设容量为N^*)，其所对应的组合收益率满足:

$ {{\rm{r}}_{\rm{p}}} \in \left[ {{\rm{r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}{\rm{ + h/2, r}}_{\rm{p}}^{\rm{*}}{\rm{ - h/2}}} \right]{\rm{, }}\;\;\;\;{\rm{h}}>{\rm{0}} $

(13)

对子样本T取最小二乘估计回归(OLS回归)得出组合中资产i的斜率β_i。最后，由式(12)和(8a)得出边际VaR；由式(7)和(8b)可计算出增量VaR和成分VaR。

子样本T的容量为N^*，取决于子样本的宽度h。一方面，为了使局部估计更加准确，h不宜取太大；另一方面，为了保证下面线性近似估计的可靠性，h也不能取太小。根据K-NN估计法，h的取值一般要使N^*＞15，且给定样本的容量N，子样本T的容量${{\rm{N}}^{\rm{*}}} \approx \sqrt {\rm{N}} $。

四 样本和数据

本文研究对象为我国外汇储备，目的在于分析人民币升值趋势下我国外汇储备的汇率风险，为此本文选取2005年7月22日至2009年3月31日人民币对美元、人民币对欧元、人民币对日元、人民币对英镑和人民币对瑞士法郎共1 348个汇率数据进行计算，数据来源于www.oanda.com。汇率历史收益率为R_t=100(lnP_t-lnP_t-1)，P_t为t时刻的人民币汇率。

我国外汇储备中的币种比例应该根据中国的贸易进口结构、外债结构、FDI结构以及政府干预汇市的用汇结构综合考虑，其中贸易进口结构和外债结构最为重要。参考现有的研究成果，结合我国外汇储备的现状，币种比例如表 1所示。其中，为了计算方便，假设现有外汇储备仅由美元、欧元、日元和英镑组成。此外，为了计算增量VaR，假设我国外汇储备新增瑞士法郎为储备资产，调整后的外汇储备由美元、欧元、日元、英镑和瑞士法郎构成，新的币种比例亦见表 1。

本文的所有计算均利用Matlab软件完成。

五 实证研究

根据前面的理论，首先应用历史模拟法度量我国外汇储备的汇率风险，计算在置信水平为95%和99%下的VaR值，结果如表 2所示。

其次，分别对计算出我国外汇储备的VaR进行分解。由边际VaR、成分VaR和增量VaR的含义和相互关系可知，只要先计算出边际VaR，就可计算出其他两者。而根据式(12)，计算边际VaR也就是计算系数β。在使用局部线形近似估计法计算系数β时，首先应选取适当的h值，确定子样本的样本容量，结果如表 3所示；然后根据前面的理论分析，取组合中各资产回报和投资组合回报作线性回归，所得斜率即为该资产的β值，其计算结果详见表 4。

最后，根据表 4中各类别资产的β值对现有外汇储备和调整后的外汇储备的汇率风险进行分解。在这里，我们计算了我国现有外汇储备中美元、欧元、日元和英镑类别资产的边际VaR、成分VaR，以及调整后的外汇储备中瑞士法郎类别资产的增量VaR，结果如表 5所示。

六 结论

从以上的计算结果可以看出：

第一，表 5中，在95%置信水平下，欧元和英镑类别资产的成分VaR都为明显大于美元和日元类别的资产，表明它们在我国外汇储备整体汇率风险中占有较大的比重。在99%置信水平下，欧元类别资产的成分VaR最大，日元和英镑的成分VaR值相近，且均明显大于95%置信水平下的值。这表明随着市场条件的恶化，这些资产给我国外汇储备带来了更多的风险。

第二，我国外汇储备各种类别币种资产的边际VaR在95%置信水平下明显较小，表明在极端市场条件下我国外汇储备面临的汇率风险远大于正常市场条件下的风险。这一信息对投资者和监管方尤为重要。此外，欧元和英镑类别资产的边际VaR在95%和99%置信水平下都比较大，说明这两个类别资产具有更大的边际风险。

第三，表 2中调整后的外汇储备VaR值接近于原始的外汇储备VaR值，表明1%比例的瑞士法郎类别资产的加入并没有分散储备整体的汇率风险。这也说明，在我国外汇储备中少量配置其他币种资产，不能显著降低储备的整体的汇率风险。瑞士法郎类资产在95%和99%置信水平下的增量VaR均为正值且在95%置信水平下较小，说明它的加入给储备带来了风险，且随着市场条件的恶化而逐步增加。