弗协调逻辑(Paraconsistent Logic)，又被称为次协调逻辑，是一种可以容纳“矛盾”的非经典逻辑，其所容纳的“矛盾”被称为“真矛盾”(True Contradiction或Dialetheism)。在诸多弗协调逻辑当中，影响最大的是巴西逻辑学家达·科斯塔的弗协调逻辑系统C_n(1≤n < ω)及其以该系统为基础而构建出的相关弗协调逻辑系统，这些系统都具有可以容纳“真矛盾”的逻辑性质。而所谓的真矛盾，在弗协调逻辑看来，就是那些虽然形式矛盾(A∧¬ A)，但在实际上不会在系统中扩散，从而也不会造成系统无意义或不足道(Trivial)的矛盾^①。弗协调逻辑容纳“真矛盾”的特异性质，是其可以作为消解悖论的主要依据。本文将在分析逻辑悖论语法表现的基础上，解析弗协调逻辑通过和平共处来达到消解悖论的逻辑机制，并对这种解悖方案进行较为深入的逻辑哲学探讨。

一 从具体的定义看逻辑悖论的语法表现

关于逻辑悖论的定义，中国社会科学院张家龙在详尽解读悖论发展史的基础上，给出了自己的定义并列举了五种具有代表性的定义，其中较能接受的定义有三种^②——

弗兰克尔和巴-希勒尔的定义：如果某一理论的公理和推理规则看上去合理，但在这个理论中却推出了两个相互矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个相互矛盾的命题的等价式。那么，这个理论就包含了一个悖论。

张建军的定义：逻辑悖论指谓这样的一种理论事实或状况，在某些公认正确的背景知识之下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。

陈波的定义：如果从明显合理的前提出发，通过正确有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称得出了悖论。这里的要点在于：推理的前提明显合理，推理的过程合乎逻辑，推理的结果则是自相矛盾的命题或命题等价式。

而张家龙解析悖论史而得到的定义是：悖论是某些知识领域中的一种论证，从对某概念的定义或一个基本语句(或命题)出发，在有关领域的一些合理假定之下，按照有效的逻辑推理规则，推出一对自相矛盾的语句或两个互相矛盾的语句的等价式。

从这些定义不难看出，如果仅从语法方面的特征来讲，逻辑悖论可以分成两类：一类是在理论或系统中出现了A且~A(即A∧~A)；另一类是出现了A↔~A。从逻辑联结词的涵义方面来讲，公式“A∧~A”和“A↔~A”确实揭示了不同的逻辑关系；但从真值联结词的角度来讲，两者表达的却是相同的真值函项。这可以简单地用映射关系图来表明——

这也就是说，在经典逻辑系统当中，虽然这两个公式的真值形式不同，但两者表达的是相同的真值映射关系，因而这两个公式其实是相同的真值函项。既然如此，那么如果仅从语法方面考虑，在经典逻辑系统或者以经典逻辑为底层的理论中出现的悖论，就可以归结为出现了两者任意之一，即，我们可以将之归结为A∧~A。可以将逻辑悖论归结为在系统或理论中出现了A∧~A，是弗协调逻辑可以用来作为解悖方案的根源性原因。这是因为弗协调逻辑认为逻辑悖论是一种“真矛盾”^①，而“真矛盾”是可以为弗协调逻辑系统所容纳的。这样，在弗协调逻辑可以把“真矛盾”作为对系统无害的因素来处理的机制下，逻辑悖论因之也在其中成为了对系统无害的因素。正是在这种意义上，逻辑悖论所导致的系统或理论本身无意义的结果被消解了，而弗协调逻辑因此就可以作为一种解悖方案。而若要理解这种消解悖论思路，就需要首先明确弗协调逻辑无害化处理“真矛盾”的逻辑机制。

二 弗协调逻辑作为解悖方案的基本思路

弗协调逻辑可以作为解悖方案的主要依据在于，这种逻辑具有可以在系统中容纳“真矛盾”的逻辑性质。那么，这种特异的逻辑性质在弗协调逻辑的系统中是如何实现的呢？

第一，在弗协调逻辑C_n(1≤n < ω)中，对否定词“¬”的赋值定义是——

V(A)=0⇒V(¬ A)=1；

V(¬ ¬ A)=1⇒V(A)=1^②。

在该赋值定义之下，联结词“¬”(即弗协调否定)的逻辑特征是：若A为假，则¬ A为真；但若A为真，则¬ A可真可假；并且若¬ ¬ A为真，则A为真；但若¬ ¬ A为假，则A可真可假。这种否定，显然已经不再是经典逻辑中否定词的含义(因为经典否定的赋值定义是：V(A)=0⇔V(~A)=1；即，若A为假，则~A为真；并且，若A为真，则~A为假)。

第二，在弗协调逻辑辑C_n(1≤n < ω)中，公式A∧¬ A和A↔ ¬ A(注意：这里的“¬”为弗协调否定)表达的也是相同的真值函项。两个公式的这种关系，可以根据“¬”的赋值定义，通过给出它们拟真值表来表明——

从表 1和表 2的拟真值表计算结果可知，当A的真值为0、1、1时，¬ A的真值为1、0、1，而此时A∧¬ A和A↔¬ A的真值取值都是0、0、1。这其实也就是说，A∧¬ A和A↔¬ A是具有相同的真值映射关系，因而两者在弗协调逻辑中是相同的真值函项。既然两者是相同的真值函项，那么它们就是等值的，因而它们之间就可以做等值置换。也就是说，对于前述把逻辑悖论归结为(A∧~A)的讨论方式在弗协调逻辑当中也有相类似的结果，即，在弗协调逻辑当中，如果仅仅从语法方面考虑，也可以把公式A↔¬ A归结为公式A∧¬ A。

第三，在弗协调逻辑系统中，可以出现A且¬ A(即A∧¬ A)。在经典逻辑观点之下，如果系统中存在矛盾A且~A(即A∧~A)，就会导致系统的不协调，继而就会导致不足道和无意义。而导致这种结果的核心因果关系，就是司哥特规则((A∧~A)→B)：即，如果矛盾(A∧~A)是成立的，那么，这个系统就不具有语法一致性；那么，任意的公式B都会成为系统的定理；那么，这个系统就是不足道的、无意义的。所以，只要司哥特规则在系统中是定理，那么它就要发挥使矛盾扩散到整个系统的作用；而扩散的后果，就是使得任意的公式都成为了系统定理，使得系统变得不足道、无意义。因此，为了在逻辑系统中可以容纳“真矛盾”，弗协调逻辑在系统中对司哥特规则的作用进行必要的限制。其主要措施，就是通过赋值定义给出了弗协调否定词。在修改了否定词的经典含义之后，建立在弗协调否定基础之上的司哥特规则(即(A∧¬ A)→B)，在弗协调逻辑系统中的作用就得到了限制。

首先，通过拟真值，我们可以清楚地看到，形如((A∧¬ A)→B)的公式已经不是系统C₁的定理——

由表 3的拟真值表计算结果可以看出，其最后一列并非全部取值为1；而且由于系统C₁是可靠的^①(若├A，则╞A；所以，若$，则$)，所以，形如((A∧¬ A)→B)的公式不是C₁的定理。

其次，在系统C_n(1≤n < ω)中，C₁是最强的系统，后序系统C_n+1总是严格弱于C_n^②。因此，如果形如((A∧¬ A)→B)的公式不是C₁的定理，那么它就更不会是后续系统的定理，所以，形如((A∧¬ A)→B)的公式不是系统的C_n定理。

这也说明，至少基于弗协调否定的司哥特规则(即(A∧¬ A)→B)已经不再是弗协调逻辑系统的定理。广义司哥特规则的失效，是弗协调逻辑C_n可以容纳“真矛盾”的关键措施。所谓广义司哥特规则，也就是形如((A∧*A)→B)的公式，其中*为某种意义上的否定。但经典否定意义上的司哥特规则(即(A∧~A)→B)仍然有效，仍然还是弗协调逻辑系统的定理^③。这同时也明确地表明，经典否定意义上的矛盾(即A∧~A)仍然是不能为弗协调逻辑系统所容纳的，弗协调逻辑所容纳的只是“真矛盾”(即A∧¬ A)。而如前所述，弗协调逻辑认为逻辑悖论是一种“真矛盾”，如果在系统中把逻辑矛盾处理成“真矛盾”，那么由于公式((A∧¬ A)→B)已不再是弗协调逻辑系统的定理，因而作为逻辑悖论的A∧¬ A(即A且¬ A)如果在系统中出现，就不会因此而导致任意的公式B也成为该系统定理的后果。这样，逻辑悖论也就不再会导致系统或理论的不足道、无意义。这样，弗协调逻辑就消解了由悖论所带来的理论或者系统全然无意义和不足道的后果，从而在系统中实现了逻辑悖论无害化的目标。

三 弗协调逻辑解悖方案的逻辑哲学思考

弗协调逻辑在区别对待矛盾的基础上，提出了“真矛盾”的逻辑哲学观点，在真矛盾的观点下，逻辑悖论就可以被弗协调逻辑所容纳。而容纳作为真矛盾的“悖论”之后，弗协调逻辑本身却仍然保持着逻辑的严格性、明晰性，甚至依然保持着“协调性”。有如此结果的这种逻辑系统作为一种解悖方案，在逻辑哲学层面也为我们带来了新的启示。

第一，关于与悖论共存的实现方式。通过上文的分析我们可以清楚地看到，弗协调逻辑可以作为一种解悖方案的原因在于，它将在悖论中出现的否定词处理成为了弗协调否定。这也就是说，如果以弗协调逻辑为基础，那么逻辑悖论“A∧~A”将会以“A∧¬ A”的面目出现在系统当中；而当我们把逻辑悖论处理成为“A∧¬ A”之后，由于基于弗协调否定的司各特规则((A∧¬ A)→B)在弗协调逻辑中已经失效，那么“A∧¬ A”就不会导致任意的公式B都是弗协调逻辑系统的定理；由于原来逻辑悖论可以导致系统不足道和无意义的后果没有在弗协调逻辑系统当中实现，所以，逻辑悖论就被容纳在了弗协调逻辑的系统当中，从而实现了逻辑与悖论的“共存”。而这种“共存”，是通过在逻辑语法上“隔离”悖论而实现的。

弗协调逻辑系统C_n(1≤n < ω)是一个逐级减弱系列系统，并且系统当中存在着两种不同的否定词：一种是经典意义的否定词“~”(经典否定)，一种是弗协调意义的否定词“¬ ”(弗协调否定)^④。系统C₀其实就是经典命题逻辑系统，在这个系统当中否定词是经典意义的，也是最强的，该系统相对于否定词来说也是最强的。如果没有诸如悖论之类的真矛盾出现，C₀就可以满足我们的使用要求。但是一旦出现了诸如悖论之类的真矛盾，如果没有逻辑系统C_n的存在，我们就只能面对理论在逻辑上变成无意义的结果。但现在有了C_n，C_n除了保留有经典命题演算不涉及否定词的全部定理模式之外，还保留了经典否定词。C_n的存在使得一旦出现诸如悖论之类的真矛盾，系统将不再像从前对待矛盾的方式那样去处理(导致系统不足道)，而是把这种真矛盾放在了经典逻辑系统(C₀)之外去处理。能够放到C₀之外去处理的方法，就是把这种真矛盾处理成基于弗协调否定的矛盾(是A∧¬ A而不是A∧~A)。这样的话，经典逻辑还是它自己，而真矛盾由于其本身根本都不是经典逻辑的公式，所以，作为真矛盾的悖论就被隔离在了经典逻辑之外，因而也不会对经典逻辑的定理模式产生任何的影响。相对应地，在这样的语法条件下，由于作为真矛盾的悖论属于弗协调逻辑的公式，于是就被C_n收编处理，并且在C_n中由于上文所述的原因，也不会给系统带来不足道的后果。而这种逻辑语法上的隔离，就是实现作为真矛盾的悖论和逻辑共存的策略性措施。这种策略性措施又会给我们带来什么呢？

第二，关于悖论在隔离意义上的消解。悖论问题由来已久，解悖方案虽然林林总总，但总的来说不能尽如人意。悖论的产生，总是与自涉、否定以及无穷这三个因素相关联，但我们却不可能通过对这三个因素的完全排斥来解决悖论问题，因为这三个因素的存在并不是一定会导致悖论。于是弗协调逻辑就认为，与其千方百计地排斥它，但又不能以好的方式排除，不如与之和平共处。而与之和平共处，那就意味着理论本身包含着悖论。事实上，包含悖论并不一定意味着全部理论就是无意义或不足道的。比如，尽管朴素的集合论存在着罗素悖论，但至今也丝毫不影响我们在日常思维当中方便地使用，我们的思维也并没有因为这种经典逻辑所认为的不协调(Inconstancy)而陷入一片混乱。再如充满辩证矛盾的、具有重要认识论和方法论意义的辩证法理论，如果用经典逻辑的语言来描述，其中的辩证命题就是一个个的逻辑矛盾。但在经典逻辑看来，一个理论或系统若包含了任意的矛盾(包括逻辑悖论)，那么它就是不协调的；而不协调一定会导致不足道，于是所有包含不协调因素的理论在经典逻辑看来就都是全然不足道的。这也就是说，如果以经典逻辑为基础，朴素集合论、辩证法理论等就是一种全无意义和不足道的理论，但事实上显然并非如此。

弗协调逻辑通过增加非经典的否定词(弗协调否定)，进而将悖论隔离在弗协调逻辑的范围内的逻辑措施，使得那些含有逻辑悖论但本身却不是全无意义的理论有了一个可靠的逻辑底层。并且，对于这种类型的一个具体理论，如果只有经典逻辑的底层，那就意味着这个理论已经是一个全无意义的不足道的东西，除非排除掉这个悖论，否则整个理论就没有继续发展的理由和价值。但在事实上，即使在某理论的某个地方产生了悖论，人们也根本不会因此就认为某理论的其他任何命题都变得毫无意义。并且，在人们暂时还没有足够的技术力量排除掉这个悖论之前，从来就没有因此而完全停止或放弃该理论其它有意义部分的发展。这种做法在现实中的问题不大，但在逻辑上没有基础；并且，这种工作在经典逻辑看来也是一种没有意义的工作。有了弗协调逻辑之后，这种工作不仅有了逻辑上的支持，并且至少在弗协调逻辑层面上看来是有意义的工作。但同时我们也应该看到，弗协调逻辑的隔离措施，并没有真正地解决悖论问题。因为，弗协调逻辑只是改变了悖论的逻辑语法表现，但经典语义下悖论仍然是存在的。这样看来，弗协调逻辑实际上不是去解决悖论，而是为我们提供了一个可以暂时地搁置这个悖论，去发展该理论其它有意义部分的可靠逻辑基础，这是一种重要的现实意义。

第三，关于不协调与弗协调的区分。在弗协调逻辑看来，逻辑悖论就是一种“真矛盾”。当我们的逻辑系统通过特定的方式接受了作为真矛盾的悖论之后，逻辑世界并没有像我们从前想象的那样陷入极端的混乱与无序的可怕之中。相反，正确的思维也并没有因此而失去基本的保证。弗协调逻辑，这种饱含“矛盾”的系统怎么会是“协调”的呢？

协调性，经典逻辑又称为语法一致性。经典逻辑这样定义“协调性”：如果一个公理系统是协调的，那么在这个公理系统中不存在任意的一个公式A，使得A和非A都是该公理系统的定理。一直以来，我们都把协调性，当作评价一个逻辑系统的最基本标准。在传统逻辑中，协调性又被称之为“无矛盾性”，而无矛盾性是传统逻辑三大规律之一“矛盾律”的直接要求，因而这种标准在传统逻辑看来，甚至就是讲不讲逻辑的最基本标准。而且，这个标准无论对于传统逻辑还是经典逻辑都是唯一的, 就是看A和非A在系统中是否都是语法可证的公式(在传统逻辑来讲就是看, A和非A是否都是语义为真的命题); 如果A和非A都是系统的可证公式, 那么就说这个系统是不协调的; 相反, 则是协调的。而之所以说这种标准具有唯一性, 主要表现在我们对于否定词“非”的理解或者说解释的唯一性上。如果否定词“非”的解释只有一种, 即只有“A为真, 当且仅当, 非A为假”, 那么, 这种标准的唯一性就是不容置疑的。但如果还有其它意义上的“非”, 那么协调性就具有了一种相对性。在语法上以弗协调否定词为初始联结词的弗协调逻辑系统C_n (1≤n≤ω)是协调的^③, 那是在说, 它是相对于弗协调否定词来说它是协调的。经典逻辑是“~-协调的”, 即A和~A不能都是经典逻辑系统的定理; 而弗协调逻辑是“¬ -协调的”, 即A和¬ A不能都是弗协调逻辑系统的定理。这也就是说, 弗协调逻辑在语法上明确区分出了~-协调和¬ -协调, 这种区分实际上也是在逻辑上告诉我们, 在我们尚未寻求到~-协调的时候, 已经具有¬ -协调的理论同样也是有意义的。

也许弗协调逻辑的哲学立场以及复杂的技术处理方式不能令我们满意, 但这并不是关键。矛盾, 曾经是逻辑避之而唯恐不及的东西。一大类的弗协调逻辑以及以之为基础而建立起来的弗协调集合论, 完全以一种理性而清晰的方式, 突破了这块禁忌之地, 使得我们不再会对矛盾怀有避之而唯恐不及的态度。并且以此为始, 我们也许会探讨出更恰当、更深刻、更简洁的矛盾处理方式, 这也许才是弗协调逻辑给我们带来的最为重要的启示。